Determinante

O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. 

Observe o cálculo de determinante nas seguinte matriz quadrada de ordem 2x2 :

Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2.

Diagonal-principal:

 2x6=12

Diagonal secundária:

 9x (–1) = – 9

Det_A =12–(–9)
Det_A =12+9
Det_A = 21 

Determinante de matriz 4x4

Os dois principais métodos são o Teorema de Laplace (que é bom quando a matriz tiver pelo menos 2 ou 3 zeros na mesma linha/coluna) e a Regra de Chió.

Exe: Calcule o determinante: 
[ 1  1   1    1  ]
[ 1 -2   3    -3 ]
[ 1 4    9    9  ]
[ 1 -8  27 -27 ]

Primeiramente, você seleciona algum número 1 na matriz. Caso não existir nenhum número um, você 'força', multiplicando uma linha ou coluna toda de uma vez. (Obs: sempre que multiplicar uma linha ou coluna da matriz, o determinante será multiplicado pelo mesmo número, então você terá de ajustar o determinante no final)

Digamos que eu tenha escolhido o primeiro número 1. o a11, confere?
Então agora eliminaremos toda a coluna e linha que o a11 pertence, isto é, a linha 1 e a coluna 1.

A matriz ficará desta maneira:
[ -2  3  -3  ]
[  4   9    9 ]
[ -8 27 -27]

Agora é preciso subtrair a multiplicação dos respectivos números de linha e coluna que você retirou para formar a matriz de ordem 3. Deve ficar desta maneira:

[ -2-1.1 3-1.1 -3-1.1    ]
[   4-1.1 9-1.1 9-1.1     ]
[ -8-1.1 27-1.1 -27-1.1]

Após os devidos ajustes, a matriz de ordem 3 fica assim:
[-3   2  -4 ]
[  3  8    8 ]
[-9 26 -28]

Agora tem que se tirar o determinante desta matriz 3x3.
Segue: 672 - 144 - 312 - 288 +624 + 168
Determinante = 720